선형근사 예제

위에서 언급했듯이 (x = 8)에서 멀어짐에 따라 함수 자체와 선형 근사치가 분리됩니다. 이 그래프에서 우리는 nngent 선과 함수가 거의 동일한 그래프를 가지고 있음을 볼 수 있습니다 . 경우에 따라 우리는 접선, (L왼쪽(L왼쪽(x오른쪽)를 함수에 대한 근사치로 사용합니다. 이러한 경우 접선선을 (x = a)의 함수에 대한 선형 근사치라고 합니다. 다시 말하지만, 이 예제에는 실제로 많은 것이 없습니다. 우리가해야 할 일은 (theta = 0)에서 접선선을 (sin theta )로 계산하는 것입니다. 접선에서 $f(x)$로 $x =a$는 $L(x) = f`(a) +f(a)$로 지정됩니다. 이 컨텍스트의 접선선을 $a$$f 선형 근사치라고도 합니다. 예제 6.4.1 $ds f(x)=sqrt{x+4}$를 허용합니다. 그런 다음 $ds f`(x)=1/(2sqrt{x+4})$.

$x=5$에서 $f$에 대한 선형 근사치는 $ds L(x)=1/(2sqrt{5+4})(x-5)+4=(x-5)/6+3=입니다. 즉각적인 응용 프로그램으로 우리는 손으로 9 근처의 숫자의 제곱근을 근사 화 할 수 있습니다. $dssqrt{10}$를 추정하기 위해 6을 $f(x)$이 아닌 선형 근사치로 대체하므로 $ds sqrt{6+4}약 (6-5)/6+3 = 19/6approx 3.1overline{6}$입니다. 이 라운드 $3.17$의 제곱근 동안 10 실제로 $3.16$ 두 소수자릿수 장소, 그래서이 추정은 하나의 소수 자릿수에 정확. 10은 실제로 9에 매우 가깝지 않기 때문에 이것은 너무 놀라운 일이 아닙니다. 다른 한편으로는, 많은 계산에 대 한, $3.2$충분히 정확 하 게 될 것 이다. 최신 계산기 및 컴퓨팅 소프트웨어의 경우 선형 근사치를 사용할 필요가 없을 수도 있습니다. 그러나 사실 그들은 매우 유용합니다. 명시적 숫자 근사치가 필요한 경우 보다 복잡한 계산에서 `현실 검사`로 사용할 수 있는 빠른 대략적인 추정치를 얻을 수 있습니다. 함수와 관련된 일부 복잡한 계산에서 선형 근사치를 사용하면 심각한 정확도 손실 없이 견딜 수 없는 계산이 가능합니다.

그런 다음 네 가지 고전적인 예제를 자세히 설명합니다. 실제로 일부 지역에서 상당히 많이 사용되는 다른 예제를 살펴 보겠습니다. 따라서 (x = 8.05)에서 이 선형 근사치는 실제 값을 근사화하는 매우 좋은 작업을 수행합니다. 그러나 (x = 25)에서는 그렇게 좋은 일을하지 않습니다. 선형 근사치는 우리가 “근처”(x = a)를 유지하는 한 (f왼쪽(f왼쪽(x오른쪽))의 근사값을 아주 잘 수행합니다. 그러나 (x = a)에서 멀어질수록 근사치가 더 악화됩니다. 여기서 가장 큰 문제는 좋은 근사치를 얻으려면 (x = a)에 머무르는 것이 우리가 사용하는 함수와 사용 중 (x = a)의 값모두에 달려 있다는 것입니다. 또한 (x = a)에서 얼마나 멀리 떨어져 있는지 예측하는 쉬운 방법은 없으며 여전히 “양호한” 근사치를 가질 수 있습니다. Newton의 방법은 곡선에 대한 근사치로서 접선선의 유용성의 한 예입니다. 여기서 우리는 또 다른 응용 프로그램을 탐구한다. 그러나 선형 근사치(즉, 진폭이 작은 스윙으로 제한되는 경우[주 1] 기간은 다음과 같습니다:[6] 벡터 변수의 벡터 함수에 대한 선형 근사치가 동일한 방식으로 얻어지며, 미분은 야코비안 행렬.

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